Ο Αλέξης, που είχε και το προσωνύμιο Γαρδικίωτης και, ήταν ο μικρότερος γιος του Δημητρίου-Δράκου Γρίβα (είχε ακόμα τέσσερις αδελφούς: τον Χρήστο, τον Σταύρο, τον Κώστα ή Φλώρο και τον Θεόδωρο). Ο Αλέξης γεννήθηκε το 1803 στην Κεφαλλονιά όπου είχε καταφύγει οι οικογένειά του.